计算机中的整数表示

继续实现更多类型之前，需要先弄清整数在机器里到底是什么。尤其是负数，它并不是用一个单独的“负号”存起来的。本章会说明无符号整数，以及用二进制补码（two's complement）表示有符号整数的方法。

下面用 0b 前缀表示二进制位模式，并按 4 位一组加下划线分隔，例如 0b0001_1010。不少 C 编译器也支持 0b 这种扩展写法，但通常不允许在数字中写下划线。

无符号整数

无符号整数（unsigned integer）的表示方法和普通二进制数相同。十进制数从低位开始依次表示个位、十位、百位、千位，换成幂就是 10^0、10^1、10^2、10^3……；二进制数也一样，从低位开始依次表示 1、2、4、8……，也就是 2^0、2^1、2^2、2^3……。

例如 0b1110 这个位模式表示的无符号整数，可以通过查看哪些位为 1 来计算。这里第 2 位、第 3 位、第 4 位为 1，也就是 2 位、4 位和 8 位为 1，所以 0b1110 表示 2 + 4 + 8 = 14。下面的图给出几个例子。

如果不断给无符号整数加 1，它的值会像下面的图一样循环。这里展示的是 4 位整数的例子。

运算结果超出有限位宽时，与无限位整数的结果不同，这称为“溢出”。例如 8 位整数中，1+3 不会溢出，但 200+100 和 20-30 会溢出，结果分别变成 44 和 246。数学上，这等价于对 2^8 = 256 取余。

有符号整数

有符号整数（signed integer）通常使用“二进制补码表示”（two's complement）。在 n 位二进制补码整数中，除了最高位之外，各位的含义和无符号整数相同；最高位不表示 2^(n-1)，而表示 -2^(n-1)。

以 4 位二进制数为例，各位表示的值如下表。

和无符号整数一样，要看一个位模式表示的有符号值，也要查看哪些位为 1。例如把 0b1110 看作 4 位有符号整数时，第 2、第 3、第 4 位为 1，也就是 2、4、-8 这三位为 1，所以它表示 2 + 4 + (-8) = -2。下面给出图示。

根据这个规则，只要最高位没有置 1，有符号整数表示的数值就和把同一位模式解释为无符号整数时相同。

在 4 位整数中，0～7 的位模式在有符号和无符号解释下完全一致。另一方面，最高位为 1 时，该位模式表示 -8～-1（0b1000～0b1111）之间的数。最高位为 1 时表示负数，因此最高位也称为“符号位”（sign bit）。

如果不断给有符号整数加 1，它的值会像下面的图一样循环。这里展示的是 4 位整数的例子。

理解了上面的规则，就能解释编程中经常见到的、有符号整数看似奇怪的行为。

有符号整数不断加 1，发生溢出时会从最大正数跳到最小负数。读者应该也见过这种现象。

用二进制补码可以清楚理解发生了什么。例如 8 位有符号整数中，最大值是 0b0111_1111，也就是 127。再加 1 会得到 0b1000_0000，在二进制补码中它表示 -128，也就是绝对值最大的负数。

在一元 - 的测试中，如果 main 返回 -3，程序整体的退出码会是 253。这是因为 main 把 RAX 设置为 -3，也就是 0b1111_..._1101；接收退出码的一侧只关心 RAX 低 8 位，并把它解释为无符号整数，于是 0b1111_1101 就成为 253。

也就是说，同一个位模式表示什么数，取决于读取方如何解释。纸上墨迹是否构成文字，是由读者把它当作文章来解释才产生意义；计算机内存中的内容本质上也只是由开关状态组成的位列，它本身没有固定意义。要传递数值，写入方和读取方必须在解释方式上保持一致。

另外，二进制补码能表示的负数比正数多一个。例如 8 位整数能表示 -128，但 +128 超出范围。正负范围不对称是机制上不可避免的。n 位位模式共有 2^n 种，总是偶数；其中一个位模式要分配给 0，剩下的就是奇数个，不可能平均分给正数和负数。

符号扩展

计算机经常需要把数值的位宽变宽。例如从内存读取一个 8 位数值并放入 64 位寄存器时，就需要把 8 位值扩展为 64 位值。

如果把值当作无符号整数使用，扩展很简单：高位全部补 0 即可。例如 4 位值 0b1110 = 14 扩展到 8 位后是 0b0000_1110 = 14。

如果把值当作有符号整数使用，只补 0 就会改变数值。例如 4 位值 0b1110 = -2 扩展到 8 位时，如果变成 0b0000_1110，它就表示 14，不再是负数。

扩展有符号整数时，如果符号位为 1，新增的高位都要补 1；如果符号位为 0，新增的高位都要补 0。这个操作称为“符号扩展”（sign extension）。例如 4 位值 0b1110 = -2 符号扩展到 8 位后是 0b1111_1110 = -2，位宽变大但数值不变。

无符号整数可以理解为：数值左侧无限延伸着 0，扩展时只是取出更多高位。

同样，有符号整数可以理解为：数值左侧无限延伸着与符号位相同的值，扩展时也是取出更多高位。

因此，当需要把数值放入比原来更宽的位置时，必须事先知道自己要把该值当作有符号数还是无符号数处理。

符号取反

编写编译器并不一定需要深入掌握二进制补码的所有细节，但记住一些与二进制补码有关的技巧会很有用。这里说明一种简单地反转数值正负号的方法。

在二进制补码中，“把所有位取反，然后加 1”这个操作会把数值变成相反数。例如要求 8 位有符号整数中 3 对应的 -3 位模式，可以按下面步骤做。

1. 先把数值写成二进制。3 是 0b0000_0011。
2. 把所有位取反，得到 0b1111_1100。
3. 再加 1，得到 0b1111_1101。这就是 -3 的位模式。

记住这个方法，就能很容易地求出负数的位模式。

反过来，如果看到一个符号位为 1 的位模式，也可以用同样操作求出它表示的数值。例如 0b1111_1101 表示什么，用普通加法直接算会有些麻烦；但把它取反再加 1 得到 0b0000_0011，也就是 3，因此原来的位模式表示 -3。

这个技巧为什么成立并不难理解。到目前为止，我们没有严格定义二进制补码中的运算，说明也比较直观；但思路如下。

把所有位取反，等价于从 -1（也就是所有位都是 1 的位模式）中减去该数。例如 0b0011_0011 这个位模式，可以如下反转。

1111 1111 - 0011 0011 = 1100 1100

也就是说，表示数值 n 的位模式取反，等价于计算 -1 - n。然后再加 1，就得到 (-1 - n) + 1 = -n，因此结果正好是 n 的相反数。